Bab II
Pernyataan Tunggal dan Majemuk serta Negasinya
Kebenaran suatu teori yang dikemukakan setiap ilmuwan, matematikawan, maupun para ahli merupakan hal yang akan sangat menentukan reputasi mereka. Untuk mendapatkan hal tersebut, mereka harus menyusun pernyataan yang bernilai benar. Di samping itu, mereka sering dituntut untuk menegasikan suatu pernyataan ataupun menggabungkan dua pernyataan atau lebih dengan menggunakan perakit. Bagian ini akan membahas tentang pernyataan, beserta perakit-perakit: negasi, konjungsi, disjungsi, implikasi, dan biimplikasi beserta nilai kebenarannya, dan diakhiri dengan membahas negasi kalimat majemuk.
A. Pernyataan dan Nilai Kebenarannya
Dimulai sejak masih kecil, setiap manusia, sedikit demi sedikit akan melengkapi perbendaharaan kata-katanya. Contohnya, ketika seseorang menyatakan kata ‘meja’, apa yang terbayang di dalam pikiran Anda? Apa yang terjadi jika yang dibayangkan justeru ‘kursi’? Di saat berkomunikasi, seseorang harus menyusun kata-kata yang dimilikinya menjadi suatu kalimat. Perhatikan beberapa kalimat berikut:
5 habis dibagi 2.
Agus habis dibagi 3.
Presiden RI pertama adalah Soekarno
1 adalah presiden pertama bilangan asli
Hal menarik apa saja yang dapat Anda nyatakan dari kalimat di atas? Pada dasarnya, di saat berkomunikasi, seseorang harus menyusun kata-kata yang dimilikinya menjadi suatu kalimat. Dari tiga contoh kalimat di atas, manakah kalimat yang memiliki arti dan manakah kalimat yang tidak memiliki arti? Kalimat adalah susunan kata-kata yang memiliki arti. Perhatikan sekarang beberapa kalimat yang memiliki arti atau bermakna berikut:
Apakah pintu itu tertutup?
Tutup pintu itu!
Pintu itu tertutup
Tolong pintunya ditutup
Dari keempat kalimat di atas, manakah yang merupakan pertanyaan, perintah, permintaan ataupun pernyataan. Karena setiap ilmuwan, matematikawan, ataupun ahli-ahli lainnya akan berusaha untuk menghasilkan suatu pernyataan atau teori yang benar, maka suatu pernyataan (termasuk teori) tidak akan ada artinya jika tidak bernilai benar. Karenanya, dari empat macam kalimat tersebut di atas, hanya pernyataan saja yang menjadi pembicaraan awal pada logika matematika ini. Suatu pernyataan dapat memiliki nilai benar saja atau salah saja, tetapi tidak sekaligus benar atau salah. Pernyataan ini sering juga disebut dengan kalimat deklaratif.
Untuk lebih menjelaskan tentang kriteria kebenaran ini perhatikan dua kalimat berikut:
Semua manusia akan mati.
Jumlah besar sudut-sudut suatu segitiga adalah 180°.
Pernyataan: “Semua manusia akan mati,” merupakan suatu pernyataan yang bernilai benar karena pada kenyataannya setiap mahluk hidup yang namanya manusia tidak ada satupun yang kekal dan abadi. Pernyataan seperti itu disebut juga dengan pernyataan faktual. Teori-teori Ilmu Pengetahuan Alam banyak didasarkan pada teori korespondensi ini. Karena itu, teori-teori atau pernyataan-pernyataan Ilmu Pengetahuan Alam akan dinilai benar jika pernyataan itu melaporkan, mendeskripsikan, ataupun menyimpulkan kenyataan atau fakta yang sebenarnya. Berbeda dengan IPA, Matematika tidak hanya mendasarkan pada kenyataan atau fakta semata-mata namun mendasarkan pada rasio dan aksioma.
Pernyataan: “Jumlah besar sudut-sudut suatu segitiga adalah 180°,” diberi nilai benar karena pernyataan itu konsisten atau koheren ataupun tidak bertentangan dengan aksioma yang sudah disepakati kebenarannya dan konsisten juga dengan dalil atau teorema sebelumnya yang sudah terbukti. Rumus yang mendukungnya berbunyi: “Jika dua garis sejajar dipotong garis lain, maka sudut-sudut dalam berseberangannya adalah sama”. Sebagai kesimpulan, suatu kalimat disebut bernilai benar jika hal-hal yang terkandung di dalam pernyataan tersebut sesuai atau cocok dengan keadaan yang sesungguhnya (teori korespondensi) atau konsisten dengan pernyataan-pernyataan sebelumnya (teori konsistensi). Pernyataan pertama sering juga disebut pernyataan faktual. Bagian berikut ini akan menjelaskan tentang perakit atau perangkai yang sering juga disebut dengan operasi.
B. Negasi Suatu Pernyataan
Jika p adalah: "Surabaya merupakan ibukota Provinsi Jawa Timur," maka negasi atau ingkaran dari pernyataan p tersebut adalah ~p yaitu: "Surabaya bukan ibukota Provinsi Jawa Timur," atau "Tidak benar bahwa Surabaya ibukota Provinsi Jawa Timur." Dari contoh ini jelaslah bahwa jika p merupakan pernyataan yang bernilai benar, maka ~p akan bernilai salah. Begitu juga sebaliknya, jika p bernilai salah maka ~p akan bernilai benar. Secara umum dapat dinyatakan bahwa negasi suatu pernyataan adalah pernyataan lain yang benilai salah jika pernyataan awalnya benar dan akan bernilai benar jika pernyataan awalnya bernilai salah, seperti ditunjukkan tabel di bawah ini.
p ~p
B
S S
B
C. Konjungsi
Konjungsi adalah suatu pernyataan majemuk yang menggunakan perakit "dan". Contohnya, pernyataan Adi berikut:
"Fahmi makan nasi dan minum kopi."
Pernyataan tersebut terbentuk oleh dua pernyataan tunggal: "Fahmi makan nasi," serta "Fahmi minum kopi." Dalam proses pembelajaran di kelas, berilah kesempatan kepada siswa untuk bertanya kepada diri mereka sendiri, dalam hal mana pernyataan Adi di atas bernilai benar dan dalam hal mana bernilai salah untuk empat kasus berikut, yaitu: Kasus pertama, Fahmi memang benar makan nasi dan ia juga minum kopi; kasus kedua, Fahmi makan nasi namun ia tidak minum kopi; kasus ketiga, Fahmi tidak makan nasi namun ia minum kopi; dan kasus keempat, Fahmi tidak makan nasi dan ia tidak minum kopi.
Berdasar 4 kasus di atas, dapat disimpulkan bahwa suatu konjungsi pÙq akan bernilai benar hanya jika komponen-komponennya, yaitu baik p maupun q, keduanya sama-sama bernilai benar, sedangkan nilai kebenaran yang selain itu akan bernilai salah sebagaimana ditunjukkan pada tabel kebenaran berikut:
p Q p Ù q
B
B
S
S B
S
B
S B
S
S
S
D. Disjungsi
Disjungsi adalah suatu pernyataan majemuk yang menggunakan perakit "atau". Contohnya, pernyataan Adi berikut:
"Fahmi makan nasi atau minum kopi."
Seperti ketika dalam proses pembelajaran konjungsi, berilah kesempatan kepada siswa untuk bertanya kepada diri mereka sendiri, dalam hal mana pernyataan Adi di atas bernilai benar dan dalam hal mana bernilai salah untuk empat kasus yang sama. Berdasar 4 kasus di atas, dapat disimpulkan bahwa suatu disjungsi p Ú q akan bernilai salah hanya jika komponen-komponennya, yaitu baik p maupun q, keduanya sama-sama bernilai salah, yang selain itu akan bernilai benar sebagaimana ditunjukkan pada tabel kebenaran berikut:
p Q p Ú q
B
B
S
S B
S
B
S B
B
B
S
E. Implikasi
Misalkan ada dua pernyataan p dan q. Yang sering menjadi perhatian para ilmuwan maupun matematikawan adalah menunjukkan atau membuktikan bahwa jika p bernilai benar akan mengakibatkan q bernilai benar juga. Untuk mencapai keinginannya tersebut, diletakkanlah kata "Jika" sebelum pernyataan pertama lalu diletakkan juga kata "maka" di antara pernyataan pertama dan pernyataan kedua, sehingga didapatkan suatu pernyataan majemuk yang disebut dengan implikasi, pernyataan bersyarat, kondisional, atau “hypothetical” dengan notasi "Þ" seperti ini: p Þ q. Notasi di atas dapat dibaca dengan: (1) Jika p maka q; (2) q jika p; (3) p adalah syarat cukup untuk q; atau (4) q adalah syarat perlu untuk p.
Pada proses pembelajaran di kelas, sebagai salah satu alternatif dapat digunakan pernyataan majemuk berikut ini sebagai contoh:
Jika hari hujan maka saya (Adi) membawa payung.
Dalam hal ini dimisalkan:
p: Hari hujan.
q: Adi membawa payung.
Dalam hal manakah pernyataan majemuk Adi tadi akan bernilai benar atau salah untuk empat kasus seperti biasa. Dari contoh di atas beserta empat kasus yang ada dapatlah disimpulkan bahwa implikasi p Þ q hanya akan bernilai salah untuk kasus kedua di mana p bernilai benar namun q-nya bernilai salah, sedangkan yang selain itu implikasi p Þ q akan bernilai benar seperti ditunjukkan tabel kebenaran berikut ini:
p Q p Þ q
B
B
S
S B
S
B
S B
S
B
B
F. Biimplikasi
Biimplikasi atau bikondisional adalah pernyataan majemuk dari dua pernyataan p dan q yang dinotasikan dengan p Û q yang bernilai sama dengan (p Þ q) Ù (q Þ p) sehingga dapat dibaca: "p jika dan hanya jika q" atau "p bila dan hanya bila q."
Tabel kebenaran dari p Û q adalah:
p q p Þ q q Þ p p Û q º (p Þ q) Ù (q Þ p)
B
B
S
S B
S
B
S B
S
B
B B
B
S
B B
S
S
B
Dengan demikian jelaslah bahwa biimplikasi dua pernyataan p dan q hanya akan bernilai benar jika kedua pernyataan tunggalnya bernilai sama, yaitu keduanya bernilai salah atau keduanya bernilai benar.
Beberapa contoh biimplikasi yang bernilai benar adalah:
Suatu segitiga adalah segitiga siku-siku jika dan hanya jika luas persegi pada hipotenusanya sama dengan jumlah luas dari persegi-persegi pada kedua sisi yang lain.
Suatu segitiga adalah segitiga sama sisi bila dan hanya bila ketiga sisinya sama.
G. Ingkaran Atau Negasi Pernyataan Majemuk
Berikut ini adalah pembahasan tentang negasi pernyataan majemuk, yaitu negasi suatu konjungsi, disjungsi, implikasi, dan biimplikasi
Negasi Suatu Konjungsi
Karena suatu konjungsi p Ù q akan bernilai benar hanya jika kedua komponennya bernilai benar. Maka negasi suatu konjungsi p Ù q adalah ~p Ú ~q; sebagaimana ditunjukkan tabel kebenaran berikut:
p q p Ù q ~p ~q ~p Ú ~q
B
B
S
S B
S
B
S B
S
S
S S
S
B
B S
B
S
B S
B
B
B
Negasi Suatu Disjungsi
Negasi suatu disjungsi p Ú q adalah ~p Ù ~q sebagaimana ditunjukkan tabel kebenaran berikut:
p q p Ú q ~p ~q ~p Ù ~q
B
B
S
S B
S
B
S B
B
B
S S
S
B
B S
B
S
B S
S
S
B
Negasi Suatu Implikasi
Negasi suatu implikasi p Þ q adalah pÙ~q seperti ditunjukkan tabel kebenaran berikut ini:
p q ~q p Þ q pÙ~q
B
B
S
S B
S
B
S S
B
S
B B
S
B
B S
B
S
S
Dengan demikian, p Þ q º ~[~ (p Þ q)] º ~( p Ù ~q) º ~p Ú q
Negasi Suatu Biimplikasi
Karena biimplikasi atau bikondisional p Û q ekuivalen dengan (p Þ q) Ù (q Þ p); sehingga:
~ (p Û q) º ~[(p Þ q) Ù (q Þ p)]
º ~[(~p Ú q) Ù (~q Ú p)]
º ~(~p Ú q) Ú ~(~q Ú p)]
º (p Ù ~q) Ú (q Ù ~p)
Tabel kebenaran dari suatu negasi, konjungsi, disjungsi, implikasi, dan biimplikasi di atas merupakan dasar dalam mencari nilai kebenaran pernyataan-pernyataan majemuk seperti di saat menentukan nilai kebenaran pernyataan majemuk (~p Ù r) Ú (~r Þ q) seperti berikut ini.
P q r ~p ~r (~p Ù r) (~r Þ q) (~p Ù r) Ú (~r Þ q)
B
B
B
B
S
S
S
S B
B
S
S
B
B
S
S B
S
B
S
B
S
B
S S
S
S
S
B
B
B
B S
B
S
B
S
B
S
B S
S
S
S
B
S
B
S B
B
B
S
B
B
B
S B
B
B
S
B
B
B
S
Latihan 2.1
Tentukan kalimat yang tidak memiliki arti, yang bukan pernyataan, dan yang merupakan pernyataan.
Ambilkan Bapak kertas.
Tolong tentukan hasil dari 1234 ´ 4589
3 mencintai siti.
Tadi pagi Fikri bertanya: “Kapan ulangan diadakan?”
2 + 3 = 27
Tentukan nilai kebenaran dari pernyataan berikut!
Logam jika dipanasi memuai.
Presiden RI pertama adalah Soeharto.
Penduduk Indonesia adalah 210.000
13 adalah bilangan prima dan 13 merupakan bilangan ganjil.
12345 habis dibagi 3 atau habis dibagi 9
Bendera Afrika Selatan ada warna hijau dan warna hitamnya.
Jika suatu bilangan habis dibagi 9, maka bilangan itu habis dibagi 3
Jika suatu bilangan habis dibagi 3, maka bilangan itu habis dibagi 9
Jika salah satu sudut suatu segitiga adalah segitiga siku-siku, maka segitiga itu adalah segitiga siku-siku.
Jika suatu segitiga adalah segitga siku-siku. maka salah satu sudut segitiga itu adalah siku-siku
3 + 2 = 6 Û 4 + 2 = 5.
3 + 2 = 5 Þ 4 + 2 = 5.
3 + 2 = 5 atau Jakarta ibukota Jawa Timur
Jika x2 = 4 maka x = 2.
Jika x = - 2 maka x2 = 4.
Jika 3x + 4 = 2 maka x = - 1.
Jika p: 10 habis dibagi 5; dan
q: 8 adalah bilangan prima;
nyatakan dalam kalimat sehari-hari pernyataan-pernyataan di bawah ini lalu tentukan nilai kebenarannya.
a. ~p
b. ~q
c. p Ù q
d. p Ú q
e. ~p Ù ~q
Jika: a: Lisa gadis cantik; dan
b: Lisa gadis cerdas,
nyatakan pernyataan di bawah ini dengan menggunakan a, b dan simbol-simbol logika matematika.
Lisa gadis yang cantik namun tidak cerdas.
Lisa gadis yang tidak cantik dan tidak cerdas.
Meskipun Lisa bukanlah gadis yang cantik namun ia gadis yang cerdas.
Lisa gadis yang cantik sekaligus juga gadis yang cerdas.
Tidak benar bahwa Lisa gadis yang cantik dan cerdas.
Jika Lisa gadis yang cantik maka ia tidak cerdas.
Jika Lisa gadis yang tidak cantik maka ia tidak cerdas.
Tentukan negasi pernyataan pada soal nomor 2 lalu tentukan nilai kebenarannya.
Tentukan negasi dari pernyataan pada nomor 3 di atas.
Buatlah tabel kebenaran dari pernyataan majemuk ini:
p Þ q Û ~p Ú q
p Ù q Þ (q Ù ~q Þ r Ù q)
~[(~pÞr) Ú (p Þ ~q)] Ù r
Pernyataan Tunggal dan Majemuk serta Negasinya
Kebenaran suatu teori yang dikemukakan setiap ilmuwan, matematikawan, maupun para ahli merupakan hal yang akan sangat menentukan reputasi mereka. Untuk mendapatkan hal tersebut, mereka harus menyusun pernyataan yang bernilai benar. Di samping itu, mereka sering dituntut untuk menegasikan suatu pernyataan ataupun menggabungkan dua pernyataan atau lebih dengan menggunakan perakit. Bagian ini akan membahas tentang pernyataan, beserta perakit-perakit: negasi, konjungsi, disjungsi, implikasi, dan biimplikasi beserta nilai kebenarannya, dan diakhiri dengan membahas negasi kalimat majemuk.
A. Pernyataan dan Nilai Kebenarannya
Dimulai sejak masih kecil, setiap manusia, sedikit demi sedikit akan melengkapi perbendaharaan kata-katanya. Contohnya, ketika seseorang menyatakan kata ‘meja’, apa yang terbayang di dalam pikiran Anda? Apa yang terjadi jika yang dibayangkan justeru ‘kursi’? Di saat berkomunikasi, seseorang harus menyusun kata-kata yang dimilikinya menjadi suatu kalimat. Perhatikan beberapa kalimat berikut:
5 habis dibagi 2.
Agus habis dibagi 3.
Presiden RI pertama adalah Soekarno
1 adalah presiden pertama bilangan asli
Hal menarik apa saja yang dapat Anda nyatakan dari kalimat di atas? Pada dasarnya, di saat berkomunikasi, seseorang harus menyusun kata-kata yang dimilikinya menjadi suatu kalimat. Dari tiga contoh kalimat di atas, manakah kalimat yang memiliki arti dan manakah kalimat yang tidak memiliki arti? Kalimat adalah susunan kata-kata yang memiliki arti. Perhatikan sekarang beberapa kalimat yang memiliki arti atau bermakna berikut:
Apakah pintu itu tertutup?
Tutup pintu itu!
Pintu itu tertutup
Tolong pintunya ditutup
Dari keempat kalimat di atas, manakah yang merupakan pertanyaan, perintah, permintaan ataupun pernyataan. Karena setiap ilmuwan, matematikawan, ataupun ahli-ahli lainnya akan berusaha untuk menghasilkan suatu pernyataan atau teori yang benar, maka suatu pernyataan (termasuk teori) tidak akan ada artinya jika tidak bernilai benar. Karenanya, dari empat macam kalimat tersebut di atas, hanya pernyataan saja yang menjadi pembicaraan awal pada logika matematika ini. Suatu pernyataan dapat memiliki nilai benar saja atau salah saja, tetapi tidak sekaligus benar atau salah. Pernyataan ini sering juga disebut dengan kalimat deklaratif.
Untuk lebih menjelaskan tentang kriteria kebenaran ini perhatikan dua kalimat berikut:
Semua manusia akan mati.
Jumlah besar sudut-sudut suatu segitiga adalah 180°.
Pernyataan: “Semua manusia akan mati,” merupakan suatu pernyataan yang bernilai benar karena pada kenyataannya setiap mahluk hidup yang namanya manusia tidak ada satupun yang kekal dan abadi. Pernyataan seperti itu disebut juga dengan pernyataan faktual. Teori-teori Ilmu Pengetahuan Alam banyak didasarkan pada teori korespondensi ini. Karena itu, teori-teori atau pernyataan-pernyataan Ilmu Pengetahuan Alam akan dinilai benar jika pernyataan itu melaporkan, mendeskripsikan, ataupun menyimpulkan kenyataan atau fakta yang sebenarnya. Berbeda dengan IPA, Matematika tidak hanya mendasarkan pada kenyataan atau fakta semata-mata namun mendasarkan pada rasio dan aksioma.
Pernyataan: “Jumlah besar sudut-sudut suatu segitiga adalah 180°,” diberi nilai benar karena pernyataan itu konsisten atau koheren ataupun tidak bertentangan dengan aksioma yang sudah disepakati kebenarannya dan konsisten juga dengan dalil atau teorema sebelumnya yang sudah terbukti. Rumus yang mendukungnya berbunyi: “Jika dua garis sejajar dipotong garis lain, maka sudut-sudut dalam berseberangannya adalah sama”. Sebagai kesimpulan, suatu kalimat disebut bernilai benar jika hal-hal yang terkandung di dalam pernyataan tersebut sesuai atau cocok dengan keadaan yang sesungguhnya (teori korespondensi) atau konsisten dengan pernyataan-pernyataan sebelumnya (teori konsistensi). Pernyataan pertama sering juga disebut pernyataan faktual. Bagian berikut ini akan menjelaskan tentang perakit atau perangkai yang sering juga disebut dengan operasi.
B. Negasi Suatu Pernyataan
Jika p adalah: "Surabaya merupakan ibukota Provinsi Jawa Timur," maka negasi atau ingkaran dari pernyataan p tersebut adalah ~p yaitu: "Surabaya bukan ibukota Provinsi Jawa Timur," atau "Tidak benar bahwa Surabaya ibukota Provinsi Jawa Timur." Dari contoh ini jelaslah bahwa jika p merupakan pernyataan yang bernilai benar, maka ~p akan bernilai salah. Begitu juga sebaliknya, jika p bernilai salah maka ~p akan bernilai benar. Secara umum dapat dinyatakan bahwa negasi suatu pernyataan adalah pernyataan lain yang benilai salah jika pernyataan awalnya benar dan akan bernilai benar jika pernyataan awalnya bernilai salah, seperti ditunjukkan tabel di bawah ini.
p ~p
B
S S
B
C. Konjungsi
Konjungsi adalah suatu pernyataan majemuk yang menggunakan perakit "dan". Contohnya, pernyataan Adi berikut:
"Fahmi makan nasi dan minum kopi."
Pernyataan tersebut terbentuk oleh dua pernyataan tunggal: "Fahmi makan nasi," serta "Fahmi minum kopi." Dalam proses pembelajaran di kelas, berilah kesempatan kepada siswa untuk bertanya kepada diri mereka sendiri, dalam hal mana pernyataan Adi di atas bernilai benar dan dalam hal mana bernilai salah untuk empat kasus berikut, yaitu: Kasus pertama, Fahmi memang benar makan nasi dan ia juga minum kopi; kasus kedua, Fahmi makan nasi namun ia tidak minum kopi; kasus ketiga, Fahmi tidak makan nasi namun ia minum kopi; dan kasus keempat, Fahmi tidak makan nasi dan ia tidak minum kopi.
Berdasar 4 kasus di atas, dapat disimpulkan bahwa suatu konjungsi pÙq akan bernilai benar hanya jika komponen-komponennya, yaitu baik p maupun q, keduanya sama-sama bernilai benar, sedangkan nilai kebenaran yang selain itu akan bernilai salah sebagaimana ditunjukkan pada tabel kebenaran berikut:
p Q p Ù q
B
B
S
S B
S
B
S B
S
S
S
D. Disjungsi
Disjungsi adalah suatu pernyataan majemuk yang menggunakan perakit "atau". Contohnya, pernyataan Adi berikut:
"Fahmi makan nasi atau minum kopi."
Seperti ketika dalam proses pembelajaran konjungsi, berilah kesempatan kepada siswa untuk bertanya kepada diri mereka sendiri, dalam hal mana pernyataan Adi di atas bernilai benar dan dalam hal mana bernilai salah untuk empat kasus yang sama. Berdasar 4 kasus di atas, dapat disimpulkan bahwa suatu disjungsi p Ú q akan bernilai salah hanya jika komponen-komponennya, yaitu baik p maupun q, keduanya sama-sama bernilai salah, yang selain itu akan bernilai benar sebagaimana ditunjukkan pada tabel kebenaran berikut:
p Q p Ú q
B
B
S
S B
S
B
S B
B
B
S
E. Implikasi
Misalkan ada dua pernyataan p dan q. Yang sering menjadi perhatian para ilmuwan maupun matematikawan adalah menunjukkan atau membuktikan bahwa jika p bernilai benar akan mengakibatkan q bernilai benar juga. Untuk mencapai keinginannya tersebut, diletakkanlah kata "Jika" sebelum pernyataan pertama lalu diletakkan juga kata "maka" di antara pernyataan pertama dan pernyataan kedua, sehingga didapatkan suatu pernyataan majemuk yang disebut dengan implikasi, pernyataan bersyarat, kondisional, atau “hypothetical” dengan notasi "Þ" seperti ini: p Þ q. Notasi di atas dapat dibaca dengan: (1) Jika p maka q; (2) q jika p; (3) p adalah syarat cukup untuk q; atau (4) q adalah syarat perlu untuk p.
Pada proses pembelajaran di kelas, sebagai salah satu alternatif dapat digunakan pernyataan majemuk berikut ini sebagai contoh:
Jika hari hujan maka saya (Adi) membawa payung.
Dalam hal ini dimisalkan:
p: Hari hujan.
q: Adi membawa payung.
Dalam hal manakah pernyataan majemuk Adi tadi akan bernilai benar atau salah untuk empat kasus seperti biasa. Dari contoh di atas beserta empat kasus yang ada dapatlah disimpulkan bahwa implikasi p Þ q hanya akan bernilai salah untuk kasus kedua di mana p bernilai benar namun q-nya bernilai salah, sedangkan yang selain itu implikasi p Þ q akan bernilai benar seperti ditunjukkan tabel kebenaran berikut ini:
p Q p Þ q
B
B
S
S B
S
B
S B
S
B
B
F. Biimplikasi
Biimplikasi atau bikondisional adalah pernyataan majemuk dari dua pernyataan p dan q yang dinotasikan dengan p Û q yang bernilai sama dengan (p Þ q) Ù (q Þ p) sehingga dapat dibaca: "p jika dan hanya jika q" atau "p bila dan hanya bila q."
Tabel kebenaran dari p Û q adalah:
p q p Þ q q Þ p p Û q º (p Þ q) Ù (q Þ p)
B
B
S
S B
S
B
S B
S
B
B B
B
S
B B
S
S
B
Dengan demikian jelaslah bahwa biimplikasi dua pernyataan p dan q hanya akan bernilai benar jika kedua pernyataan tunggalnya bernilai sama, yaitu keduanya bernilai salah atau keduanya bernilai benar.
Beberapa contoh biimplikasi yang bernilai benar adalah:
Suatu segitiga adalah segitiga siku-siku jika dan hanya jika luas persegi pada hipotenusanya sama dengan jumlah luas dari persegi-persegi pada kedua sisi yang lain.
Suatu segitiga adalah segitiga sama sisi bila dan hanya bila ketiga sisinya sama.
G. Ingkaran Atau Negasi Pernyataan Majemuk
Berikut ini adalah pembahasan tentang negasi pernyataan majemuk, yaitu negasi suatu konjungsi, disjungsi, implikasi, dan biimplikasi
Negasi Suatu Konjungsi
Karena suatu konjungsi p Ù q akan bernilai benar hanya jika kedua komponennya bernilai benar. Maka negasi suatu konjungsi p Ù q adalah ~p Ú ~q; sebagaimana ditunjukkan tabel kebenaran berikut:
p q p Ù q ~p ~q ~p Ú ~q
B
B
S
S B
S
B
S B
S
S
S S
S
B
B S
B
S
B S
B
B
B
Negasi Suatu Disjungsi
Negasi suatu disjungsi p Ú q adalah ~p Ù ~q sebagaimana ditunjukkan tabel kebenaran berikut:
p q p Ú q ~p ~q ~p Ù ~q
B
B
S
S B
S
B
S B
B
B
S S
S
B
B S
B
S
B S
S
S
B
Negasi Suatu Implikasi
Negasi suatu implikasi p Þ q adalah pÙ~q seperti ditunjukkan tabel kebenaran berikut ini:
p q ~q p Þ q pÙ~q
B
B
S
S B
S
B
S S
B
S
B B
S
B
B S
B
S
S
Dengan demikian, p Þ q º ~[~ (p Þ q)] º ~( p Ù ~q) º ~p Ú q
Negasi Suatu Biimplikasi
Karena biimplikasi atau bikondisional p Û q ekuivalen dengan (p Þ q) Ù (q Þ p); sehingga:
~ (p Û q) º ~[(p Þ q) Ù (q Þ p)]
º ~[(~p Ú q) Ù (~q Ú p)]
º ~(~p Ú q) Ú ~(~q Ú p)]
º (p Ù ~q) Ú (q Ù ~p)
Tabel kebenaran dari suatu negasi, konjungsi, disjungsi, implikasi, dan biimplikasi di atas merupakan dasar dalam mencari nilai kebenaran pernyataan-pernyataan majemuk seperti di saat menentukan nilai kebenaran pernyataan majemuk (~p Ù r) Ú (~r Þ q) seperti berikut ini.
P q r ~p ~r (~p Ù r) (~r Þ q) (~p Ù r) Ú (~r Þ q)
B
B
B
B
S
S
S
S B
B
S
S
B
B
S
S B
S
B
S
B
S
B
S S
S
S
S
B
B
B
B S
B
S
B
S
B
S
B S
S
S
S
B
S
B
S B
B
B
S
B
B
B
S B
B
B
S
B
B
B
S
Latihan 2.1
Tentukan kalimat yang tidak memiliki arti, yang bukan pernyataan, dan yang merupakan pernyataan.
Ambilkan Bapak kertas.
Tolong tentukan hasil dari 1234 ´ 4589
3 mencintai siti.
Tadi pagi Fikri bertanya: “Kapan ulangan diadakan?”
2 + 3 = 27
Tentukan nilai kebenaran dari pernyataan berikut!
Logam jika dipanasi memuai.
Presiden RI pertama adalah Soeharto.
Penduduk Indonesia adalah 210.000
13 adalah bilangan prima dan 13 merupakan bilangan ganjil.
12345 habis dibagi 3 atau habis dibagi 9
Bendera Afrika Selatan ada warna hijau dan warna hitamnya.
Jika suatu bilangan habis dibagi 9, maka bilangan itu habis dibagi 3
Jika suatu bilangan habis dibagi 3, maka bilangan itu habis dibagi 9
Jika salah satu sudut suatu segitiga adalah segitiga siku-siku, maka segitiga itu adalah segitiga siku-siku.
Jika suatu segitiga adalah segitga siku-siku. maka salah satu sudut segitiga itu adalah siku-siku
3 + 2 = 6 Û 4 + 2 = 5.
3 + 2 = 5 Þ 4 + 2 = 5.
3 + 2 = 5 atau Jakarta ibukota Jawa Timur
Jika x2 = 4 maka x = 2.
Jika x = - 2 maka x2 = 4.
Jika 3x + 4 = 2 maka x = - 1.
Jika p: 10 habis dibagi 5; dan
q: 8 adalah bilangan prima;
nyatakan dalam kalimat sehari-hari pernyataan-pernyataan di bawah ini lalu tentukan nilai kebenarannya.
a. ~p
b. ~q
c. p Ù q
d. p Ú q
e. ~p Ù ~q
Jika: a: Lisa gadis cantik; dan
b: Lisa gadis cerdas,
nyatakan pernyataan di bawah ini dengan menggunakan a, b dan simbol-simbol logika matematika.
Lisa gadis yang cantik namun tidak cerdas.
Lisa gadis yang tidak cantik dan tidak cerdas.
Meskipun Lisa bukanlah gadis yang cantik namun ia gadis yang cerdas.
Lisa gadis yang cantik sekaligus juga gadis yang cerdas.
Tidak benar bahwa Lisa gadis yang cantik dan cerdas.
Jika Lisa gadis yang cantik maka ia tidak cerdas.
Jika Lisa gadis yang tidak cantik maka ia tidak cerdas.
Tentukan negasi pernyataan pada soal nomor 2 lalu tentukan nilai kebenarannya.
Tentukan negasi dari pernyataan pada nomor 3 di atas.
Buatlah tabel kebenaran dari pernyataan majemuk ini:
p Þ q Û ~p Ú q
p Ù q Þ (q Ù ~q Þ r Ù q)
~[(~pÞr) Ú (p Þ ~q)] Ù r
No comments:
Post a Comment