Bab V
Ukuran Pemusatan
Pengolahan data biasanya dilakukan untuk menghasilkan ukuran-ukuran yang berupa rangkuman yang dapat mewakili data tersebut. Untuk itu, kita berusaha untuk mengetahui di mana suatu data terpusat yang disebut juga sebagai ukuran pemusatan data atau ukuran tendensi sentral. Beberapa jenis nilai gejala pusat yang sering digunakan ialah rata-rata (mean), median, dan modus.
Rata-rata (Mean)
Cara Menghitung Nilai Rata-rata Data Tak Tersusun.
Jika dimisalkan, nilai ulangan matematika Anto adalah 10, 10, dan 7; maka rata-rata nilai Anto = = 9. Jadi:
Rata-rata = atau
x (dibaca: “x bar”) = rata-rata, mean, atau rataan;
n = banyak data atau ukuran data;
xi = nilai data yang ke-i; dan
å = (dibaca: sigma) yang menyatakan “penjumlahan” atau “jumlah dari.”
Menghitung Rata-rata dengan Tabel Frekuensi.
Jika nilai Robi untuk 10 mata pelajaran adalah sebagai berikut: 9, 7, 7, 8, 8, 7, 8, 7, 6, 7. Bagaimana menentukan rata-ratanya? Salah satu cara adalah dengan menggunakan rumus di atas. Tetapi, jika data tersebut diurutkan akan didapat data berikut: 6, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 9, sehingga rata-rata = . Apabila banyaknya data dari suatu pengamatan cukup besar maka cara menghitung rata-rata yang lebih praktis seperti proses di atas adalah dengan menggunakan tabel frekuensi berikut:
Tabel 6.2. Nilai Robi untuk 10 Mata Pelajaran
Nilai (xi) Turus Frekuensi (fi) fi.xi
6
7
8
9 I
IIII
III
I 1
5
3
1 6
35
24
9
Jumlah åfi = 10 å fi.xi = 74
Rata-rata = ; sehingga rumus rata-ratanya adalah
Menghitung Rata-rata dengan Menggunakan Rata-rata Sementara
Perhatikan dua data berikut. Hal menarik apa saja yang dapat Anda nyatakan tentang dua data ini? Dapatkah Anda menentukan rata-rata data kedua dari rata-rata data pertama? Bagaimana caranya?
a. 10, 10, 7
b. 110, 110, 107
Untuk soal a, didapat = 27/3 = 9. Untuk soal b, salah satu cara menentukan rata-ratanya dengan menyederhanakan hitungan yakni setiap nilai dikurangi 100, sehingga nilainya menjadi 10, 10, dan 7. Pengurang 100 inilah yang kemudian dikenal dengan rata-rata sementara ( ); sedangkan nilai 10, 10, dan 7 ini disebut dengan simpangan terhadap rata-rata sementaranya (di) di mana di = xi – . Rata-ratanya adalah = 100 + = 109. Pengerjaan ini mengarah kepada formula rata-rata untuk data tunggal yaitu di mana di = xi – . Untuk suatu tabel frekuensi, rata-rata merupakan jumlah dari rata-rata sementara dengan simpangan rata-rata, atau . Sebagai pedoman, rata-rata sementara biasanya dipilih nilai yang memiliki frekuensi terbesar.
Menghitung Rata-rata Data Berkelompok.
Untuk menghitung rata-rata suatu data yang ukurannya cukup besar maka akan sangat mudah kalau data tadi dikelompokkan terlebih dahulu menjadi beberapa kelas interval. Selanjutnya, untuk menghitung nilai rata-rata dari data yang berkelompok maka data pada masing-masing kelas interval nilainya diwakili dengan nilai titik tengah kelas interval tersebut. Jika digunakan cara koding, dengan pemisalan , didapat .
Median
Median adalah suatu nilai yang membagi data yang telah diurutkan menjadi dua bagian yang sama banyak. Jika banyaknya data (n) ganjil maka mediannya adalah nilai data yang ditengah atau nilai data yang ke- , sehingga Median = Me = . Jika banyaknya data (n) genap maka mediannya adalah rata-rata dari dua nilai data yang di tengah atau rata-rata data ke dan data ke , jadi Median Me = .
Perhatikan Histogram pada Gambar 5.1 di sebelah kiri bawah ini. Jelaskan langkah-langkah untuk membuat garis vertikal yang dapat membagi data di atas menjadi dua bagian yang sama. Di kelas, sebelum para siswa mempelajari rumus median, siswa diminta untuk menyelesaikan tugas seperti di atas. Dari tugas inilah, konsep matematika tentang rumus median dapat diturunkan dan ditemukan sendiri para siswa
Banyak data yang disajikan pada histogram di atas adalah n = 22 yang didapat dari !+3+4+6+5+2+1, sehingga garis vertikal dimaksud harus membagi banyak data di atas menjadi dua bagian yang sama, yaitu ½ n = 11 di sebelah kiri dan ½ n = 11 di sebelah kanannya. Untuk menjcapai hal itu, garis tersebut harus terletak di antara 14,5 dengan 19,5. Di sebelah kiri sudah ada 1+3+4 = 8 buah data, begitu juga yang di sebelah kanan, sehingga untuk mencapai angka ½ n = 11, dibutuhkan 3 buah data dari 6 buah data yang ada, sehingga Median Me = 14,5 + = 14,5 + 2,5 = 17. Proses ini mengarah ke rumus:
Me = Tb +
Me = Median,
Tb = Tepi bawah kelas median,
n = banyak data,
= frekuensi kumulatif sebelum kelas median,
= frekuensi kelas median, dan
c = panjang kelas.
Modus
Modus adalah nilai data yang paling sering muncul atau nilai data yang mempunyai frekuensi terbesar. Data 4, 5, 5, 6, 7, 8, 8, 9, 10 mempunyai dua modus (bimodus) 5 dan 8. Data 4, 5, 5, 6, 7, 7, 8, 9, 9, 10 memiliki tiga modus (multimodus). Sedangkan data 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 dan data 4, 4, 6, 6, 7, 7, 9, 9 tidak mempunyai modus. Data yang hanya mempunyai satu modus disebut unimodus.
Pertanyaan yang dapat diajukan sekarang adalah: “Bagaimana menentukan modus dari data yang disajikan dalam distribusi data berkelompok. Untuk menjawab hal itu, perhatikan dahulu histogram pada Gambar 5.3 di bawah ini. Bagaimana cara Anda menentukan modus (Mo) dari data yang tersaji pada histogram tersebut?
Dari histogram di atas terlihat jelas bahwa posisi modus harus terletak di antara 14,5 dengan 19,5. Jika titik tengah kelas modusnya adalah 17, maka modusnya harus lebih dari 17 seperti terlihat pada Gambar 5.4 atau lebih berat ke kanan dengan memperhatikan selisih antara frekuensi kelas modus dengan frekuensi kelas sebelumnya (6–4=2) dan selisih antara frekuensi kelas modus dengan frekuensi kelas sesudahnya (6–5=1).
Dengan mencermati adanya dua segitiga ang sebangun pada histogram pada Gambar 5.4 akan didapat Mo = 14,5 + = 14,5 + 3,3 = 17,8. Hasil ini mengarah ke rumus:
Mo = Tb +
Mo = Modus,
Tb = Tepi bawah kelas modus,
= selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sebelumnya,
= selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sesudahnya, dan c = panjang atau lebar kelas.
Latihan 5.1
Tentukan mean (rata-rata), median, dan modus dari data berikut:
4, 9, 6, 6, 7, 7, 3, 5, 6, 5.
44, 49, 46, 46, 47, 47, 43, 45, 46, 45.
40, 90, 60, 60, 70, 70, 30, 50, 60, 50.
Hal menarik apa saja yang dapat Anda nyatakan dari hasil itu? Apakah hal itu terjadi secara kebetulan saja ataukah dapat dibuktikan?
Hitunglah rata-rata, median dan modusnya dari data berikut:
Nilai (x) 6 7 8 9 10
Banyak anak (f) 5 7 14 8 6
Nilai ulangan umum Robi dan Erin ditunjukkan pada tabel berikut:
Nilai
Robi Erin
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9 Pendidikan Agama
Pendidikan Pancasila dan Kewarganegaraan
Bahasa Indonesia
Bahasa Daerah
Ilmu Pengetahuan Sosial (IPS)
Matematika
Ilmu Pengetahuan Alam (IPA)
Pendidikan Jasmani dan Kesehatan
Kerajinan Tangan dan Kesenian 9
8
7
8
7
8
7
7
7 9
7
9
7
7
7
7
7
7
Tentukan siswa yang lebih baik nilainya pada ulangan umum tersebut:
Skor rata-rata ulangan matematika dari 30 orang siswa adalah 45. Jika skor dari Kardi digabungkan dengan kelompok itu, maka skor rata-rata ulangan matematika dari 40 orang siswa menjadi 46. Tentukan skor ulangan Kardi.
Rata-rata hitung (mean) umur penduduk laki-laki dan perempuan di satu desa adalah 40 tahun. Tentukan perbandingan jumlah penduduk laki-laki dan perempuan jika rata-rata hitung penduduk laki-laki adalah 54 tahun dan rata-rata hitung penduduk perempuan adalah 32 tahun.
Diketahui data berikut:
58 100 68 62 50 62 68 70 69 74
92 44 60 54 92 75 90 76 79 85
86 78 73 64 92 70 76 50 59 75
64 46 80 68 70 56 67 64 66 48
Hitunglah rata-ratanya dengan cara
Menggunakan rata-rata sementara
Dengan mengelompokkan data.
Tentukanlah rata-rata, median, dan modus dari data berikut.
Berat 60 – 62 63 – 65 66 – 68 69 – 71 72 – 74
Frekuensi 5 18 42 27 8
Tentukanlah rata-rata, median, dan modus dari data yang disajikan dengan histogram pada Gambar 5.5 dan 5.6 di bawah ini.
Ukuran Pemusatan
Pengolahan data biasanya dilakukan untuk menghasilkan ukuran-ukuran yang berupa rangkuman yang dapat mewakili data tersebut. Untuk itu, kita berusaha untuk mengetahui di mana suatu data terpusat yang disebut juga sebagai ukuran pemusatan data atau ukuran tendensi sentral. Beberapa jenis nilai gejala pusat yang sering digunakan ialah rata-rata (mean), median, dan modus.
Rata-rata (Mean)
Cara Menghitung Nilai Rata-rata Data Tak Tersusun.
Jika dimisalkan, nilai ulangan matematika Anto adalah 10, 10, dan 7; maka rata-rata nilai Anto = = 9. Jadi:
Rata-rata = atau
x (dibaca: “x bar”) = rata-rata, mean, atau rataan;
n = banyak data atau ukuran data;
xi = nilai data yang ke-i; dan
å = (dibaca: sigma) yang menyatakan “penjumlahan” atau “jumlah dari.”
Menghitung Rata-rata dengan Tabel Frekuensi.
Jika nilai Robi untuk 10 mata pelajaran adalah sebagai berikut: 9, 7, 7, 8, 8, 7, 8, 7, 6, 7. Bagaimana menentukan rata-ratanya? Salah satu cara adalah dengan menggunakan rumus di atas. Tetapi, jika data tersebut diurutkan akan didapat data berikut: 6, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 9, sehingga rata-rata = . Apabila banyaknya data dari suatu pengamatan cukup besar maka cara menghitung rata-rata yang lebih praktis seperti proses di atas adalah dengan menggunakan tabel frekuensi berikut:
Tabel 6.2. Nilai Robi untuk 10 Mata Pelajaran
Nilai (xi) Turus Frekuensi (fi) fi.xi
6
7
8
9 I
IIII
III
I 1
5
3
1 6
35
24
9
Jumlah åfi = 10 å fi.xi = 74
Rata-rata = ; sehingga rumus rata-ratanya adalah
Menghitung Rata-rata dengan Menggunakan Rata-rata Sementara
Perhatikan dua data berikut. Hal menarik apa saja yang dapat Anda nyatakan tentang dua data ini? Dapatkah Anda menentukan rata-rata data kedua dari rata-rata data pertama? Bagaimana caranya?
a. 10, 10, 7
b. 110, 110, 107
Untuk soal a, didapat = 27/3 = 9. Untuk soal b, salah satu cara menentukan rata-ratanya dengan menyederhanakan hitungan yakni setiap nilai dikurangi 100, sehingga nilainya menjadi 10, 10, dan 7. Pengurang 100 inilah yang kemudian dikenal dengan rata-rata sementara ( ); sedangkan nilai 10, 10, dan 7 ini disebut dengan simpangan terhadap rata-rata sementaranya (di) di mana di = xi – . Rata-ratanya adalah = 100 + = 109. Pengerjaan ini mengarah kepada formula rata-rata untuk data tunggal yaitu di mana di = xi – . Untuk suatu tabel frekuensi, rata-rata merupakan jumlah dari rata-rata sementara dengan simpangan rata-rata, atau . Sebagai pedoman, rata-rata sementara biasanya dipilih nilai yang memiliki frekuensi terbesar.
Menghitung Rata-rata Data Berkelompok.
Untuk menghitung rata-rata suatu data yang ukurannya cukup besar maka akan sangat mudah kalau data tadi dikelompokkan terlebih dahulu menjadi beberapa kelas interval. Selanjutnya, untuk menghitung nilai rata-rata dari data yang berkelompok maka data pada masing-masing kelas interval nilainya diwakili dengan nilai titik tengah kelas interval tersebut. Jika digunakan cara koding, dengan pemisalan , didapat .
Median
Median adalah suatu nilai yang membagi data yang telah diurutkan menjadi dua bagian yang sama banyak. Jika banyaknya data (n) ganjil maka mediannya adalah nilai data yang ditengah atau nilai data yang ke- , sehingga Median = Me = . Jika banyaknya data (n) genap maka mediannya adalah rata-rata dari dua nilai data yang di tengah atau rata-rata data ke dan data ke , jadi Median Me = .
Perhatikan Histogram pada Gambar 5.1 di sebelah kiri bawah ini. Jelaskan langkah-langkah untuk membuat garis vertikal yang dapat membagi data di atas menjadi dua bagian yang sama. Di kelas, sebelum para siswa mempelajari rumus median, siswa diminta untuk menyelesaikan tugas seperti di atas. Dari tugas inilah, konsep matematika tentang rumus median dapat diturunkan dan ditemukan sendiri para siswa
Banyak data yang disajikan pada histogram di atas adalah n = 22 yang didapat dari !+3+4+6+5+2+1, sehingga garis vertikal dimaksud harus membagi banyak data di atas menjadi dua bagian yang sama, yaitu ½ n = 11 di sebelah kiri dan ½ n = 11 di sebelah kanannya. Untuk menjcapai hal itu, garis tersebut harus terletak di antara 14,5 dengan 19,5. Di sebelah kiri sudah ada 1+3+4 = 8 buah data, begitu juga yang di sebelah kanan, sehingga untuk mencapai angka ½ n = 11, dibutuhkan 3 buah data dari 6 buah data yang ada, sehingga Median Me = 14,5 + = 14,5 + 2,5 = 17. Proses ini mengarah ke rumus:
Me = Tb +
Me = Median,
Tb = Tepi bawah kelas median,
n = banyak data,
= frekuensi kumulatif sebelum kelas median,
= frekuensi kelas median, dan
c = panjang kelas.
Modus
Modus adalah nilai data yang paling sering muncul atau nilai data yang mempunyai frekuensi terbesar. Data 4, 5, 5, 6, 7, 8, 8, 9, 10 mempunyai dua modus (bimodus) 5 dan 8. Data 4, 5, 5, 6, 7, 7, 8, 9, 9, 10 memiliki tiga modus (multimodus). Sedangkan data 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 dan data 4, 4, 6, 6, 7, 7, 9, 9 tidak mempunyai modus. Data yang hanya mempunyai satu modus disebut unimodus.
Pertanyaan yang dapat diajukan sekarang adalah: “Bagaimana menentukan modus dari data yang disajikan dalam distribusi data berkelompok. Untuk menjawab hal itu, perhatikan dahulu histogram pada Gambar 5.3 di bawah ini. Bagaimana cara Anda menentukan modus (Mo) dari data yang tersaji pada histogram tersebut?
Dari histogram di atas terlihat jelas bahwa posisi modus harus terletak di antara 14,5 dengan 19,5. Jika titik tengah kelas modusnya adalah 17, maka modusnya harus lebih dari 17 seperti terlihat pada Gambar 5.4 atau lebih berat ke kanan dengan memperhatikan selisih antara frekuensi kelas modus dengan frekuensi kelas sebelumnya (6–4=2) dan selisih antara frekuensi kelas modus dengan frekuensi kelas sesudahnya (6–5=1).
Dengan mencermati adanya dua segitiga ang sebangun pada histogram pada Gambar 5.4 akan didapat Mo = 14,5 + = 14,5 + 3,3 = 17,8. Hasil ini mengarah ke rumus:
Mo = Tb +
Mo = Modus,
Tb = Tepi bawah kelas modus,
= selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sebelumnya,
= selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sesudahnya, dan c = panjang atau lebar kelas.
Latihan 5.1
Tentukan mean (rata-rata), median, dan modus dari data berikut:
4, 9, 6, 6, 7, 7, 3, 5, 6, 5.
44, 49, 46, 46, 47, 47, 43, 45, 46, 45.
40, 90, 60, 60, 70, 70, 30, 50, 60, 50.
Hal menarik apa saja yang dapat Anda nyatakan dari hasil itu? Apakah hal itu terjadi secara kebetulan saja ataukah dapat dibuktikan?
Hitunglah rata-rata, median dan modusnya dari data berikut:
Nilai (x) 6 7 8 9 10
Banyak anak (f) 5 7 14 8 6
Nilai ulangan umum Robi dan Erin ditunjukkan pada tabel berikut:
Nilai
Robi Erin
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9 Pendidikan Agama
Pendidikan Pancasila dan Kewarganegaraan
Bahasa Indonesia
Bahasa Daerah
Ilmu Pengetahuan Sosial (IPS)
Matematika
Ilmu Pengetahuan Alam (IPA)
Pendidikan Jasmani dan Kesehatan
Kerajinan Tangan dan Kesenian 9
8
7
8
7
8
7
7
7 9
7
9
7
7
7
7
7
7
Tentukan siswa yang lebih baik nilainya pada ulangan umum tersebut:
Skor rata-rata ulangan matematika dari 30 orang siswa adalah 45. Jika skor dari Kardi digabungkan dengan kelompok itu, maka skor rata-rata ulangan matematika dari 40 orang siswa menjadi 46. Tentukan skor ulangan Kardi.
Rata-rata hitung (mean) umur penduduk laki-laki dan perempuan di satu desa adalah 40 tahun. Tentukan perbandingan jumlah penduduk laki-laki dan perempuan jika rata-rata hitung penduduk laki-laki adalah 54 tahun dan rata-rata hitung penduduk perempuan adalah 32 tahun.
Diketahui data berikut:
58 100 68 62 50 62 68 70 69 74
92 44 60 54 92 75 90 76 79 85
86 78 73 64 92 70 76 50 59 75
64 46 80 68 70 56 67 64 66 48
Hitunglah rata-ratanya dengan cara
Menggunakan rata-rata sementara
Dengan mengelompokkan data.
Tentukanlah rata-rata, median, dan modus dari data berikut.
Berat 60 – 62 63 – 65 66 – 68 69 – 71 72 – 74
Frekuensi 5 18 42 27 8
Tentukanlah rata-rata, median, dan modus dari data yang disajikan dengan histogram pada Gambar 5.5 dan 5.6 di bawah ini.
No comments:
Post a Comment