Bab VI
Ukuran Penyebaran
A. Pengertian Ukuran Penyebaran
Perhatikan data yang berkait dengan nilai IPA dan nilai Matematika lima orang siswa di bawah ini.
Tabel 6.1. Nilai MIPA Lima Siswa SMK Handayani
Mata Pelajaran Ali Budi Cici Didi Edi Jml Mean
IPA 5 5,5 6 6,5 7 30 6
Matematika 2 4 6 8 10 30 6
Data nilai IPA cenderung lebih memusat ke angka 6, sedangkan data nilai matematika lebih menyebar. Edi yang mendapat nilai 7 untuk IPA ternyata berada pada urutan pertama, sedangkan si Didi yang mendapat nilai Matematika 8 malah ada pada urutan kedua. Hal ini menunjukkan bahwa walaupun rata-rata nilai kedua mata pelajaran sudah didapatkan namun masih dibutuhkan satu ukuran yang akan menggambarkan penyebaran datanya yang dikenal dengan sebutan ukuran penyebaran atau ukuran dispersi. Ada beberapa macam ukuran penyebaran, namun yang akan dibicarakan di sini adalah jangkauan (range), simpangan rata-rata (SR) dan simpangan baku (standard deviation).
B. Jangkauan
Jangkauan, nilai jarak, atau rentang, merupakan selisih antara nilai tertinggi dengan nilai terendah, sehingga jangkauan nilai IPA = 7 – 5 = 2 dan jangkauan nilai matematika = 10 – 2 = 8. Kesimpulannya, sebagaimana dinyatakan tadi, nilai Matematikanya lebih bervariasi daripada nilai IPA. Perhatikan sekarang tabel distribusi frekuensi berikut:
Tabel 6. 2. Banyaknya Siswa Kelas 1 SMP Adi berdasar Tingginya:
Tinggi (cm) Titik Tengah (xi) Turus Frekuensi (fi)
119 – 127
128 – 136
137 – 145
146 – 154
155 – 163
164 – 172
173 – 181 123
132
141
150
159
168
177 III
IIII I
IIII IIII
IIII IIII I
IIII
III
II 3
6
10
11
5
3
2
Untuk menentukan jangkauan pada suatu tabel, dapat digunakan 2 cara.
Cara 1:
Nilai tengah kelas terakhir ½ (173 + 181) = 177, dan nilai tengah kelas pertama ½ (119 + 127) = 123, sehingga J = 54.
Cara 2:
Batas atas kelas terakhir 181,5; dan batas bawah kelas pertama 118,5; sehingga jangkauan J =181,5 – 118,5 = 63
Simpangan Rata-rata
Simpangan rata-rata (SR) adalah salah satu ukuran penyebaran yang mengukur penyebaran nilai-nilai data terhadap nilai rata-ratanya. Untuk menghitung simpangan rata-rata dari data x1, x2, x3, …, xn digunakan rumus: , dengan n = banyaknya data dan = nilai rata-rata. Jika dari data x1, x2, x3, …, xn masing-masingnya muncul dengan frekuensi f1, f2, f3, …, fn akan didapat rumus: .
Varians atau Ragam dan Simpangan Baku (Standard Deviation)
Pada prakteknya, nilai simpangan rata-rata di atas jarang dipakai karena penggunaan nilai mutlak yang menyebabkan kekakuan dalam perhitungan matematika. Sebagai penggantinya dilakukan dengan mencari kuadrat dari simpangan setiap ukuran terhadap nilai rata-ratanya. Rata-rata dari semua nilai kuadrat dari simpangan itulah yang disebut varians atau ragam. Varians dari suatu data dinotasikan dengan s2. Untuk menghitung varians dari suatu data x1, x2, x3, …, xn digunakan rumus = = , dengan n = banyaknya data, dan = nilai rata-rata. Jika dari data x1, x2, x3, …, xn masing-masingnya muncul dengan frekuensi f1, f2, f3, …, fn akan didapat rumus: atau .
Jika cara di atas dilakukan terhadap suatu data hasil pengukuran yang memiliki satuan tertentu misal meter (m), maka akan diperoleh varians dengan satuan meter persegi (m2). Oleh karena itu untuk memperoleh suatu nilai yang memiliki satuan sama dengan satuan setiap ukuran pada data, maka kita perlu nilai akar kuadrat dari varians yang selanjutnya disebut dengan simpangan baku (standard deviation) yang dinotasikan dengan s dengan rumus
Latihan 6.1
Tentukan jangkauan (J), simpangan rata-rata (SR), varians (s2), dan simpangan baku (s) dari data berikut:
2, 4, 6, 9, 9.
102, 104, 106, 109, 109.
20, 40, 60, 90, 90.
Hal menarik apa saja yang dapat Anda nyatakan dari hasil itu? Apakah hal itu terjadi secara kebetulan saja ataukah dapat dibuktikan?
Suatu data dengan n = 8, rata-ratanya ( ) = 9, dan simpangan bakunya (s) = Ö15. Tentukan rata-rata dan simpangan bakunya jika:
Keseluruhan dari 8 nilai data tersebut ditambah 10.
Keseluruhan dari 8 nilai data tersebut dikurangi 10.
Keseluruhan dari 8 nilai data tersebut dikali 3.
Keseluruhan dari 8 nilai data tersebut dibagi 3.
Tentukan varians dari berat 100 siswa SMK Handayani berikut dengan berbagai cara:
Berat 60 – 62 63 – 65 66 – 68 69 – 71 72 – 74
Frekuensi 5 18 42 27 8
Buktikan: = =
Buktikan: = .
Ukuran Penyebaran
A. Pengertian Ukuran Penyebaran
Perhatikan data yang berkait dengan nilai IPA dan nilai Matematika lima orang siswa di bawah ini.
Tabel 6.1. Nilai MIPA Lima Siswa SMK Handayani
Mata Pelajaran Ali Budi Cici Didi Edi Jml Mean
IPA 5 5,5 6 6,5 7 30 6
Matematika 2 4 6 8 10 30 6
Data nilai IPA cenderung lebih memusat ke angka 6, sedangkan data nilai matematika lebih menyebar. Edi yang mendapat nilai 7 untuk IPA ternyata berada pada urutan pertama, sedangkan si Didi yang mendapat nilai Matematika 8 malah ada pada urutan kedua. Hal ini menunjukkan bahwa walaupun rata-rata nilai kedua mata pelajaran sudah didapatkan namun masih dibutuhkan satu ukuran yang akan menggambarkan penyebaran datanya yang dikenal dengan sebutan ukuran penyebaran atau ukuran dispersi. Ada beberapa macam ukuran penyebaran, namun yang akan dibicarakan di sini adalah jangkauan (range), simpangan rata-rata (SR) dan simpangan baku (standard deviation).
B. Jangkauan
Jangkauan, nilai jarak, atau rentang, merupakan selisih antara nilai tertinggi dengan nilai terendah, sehingga jangkauan nilai IPA = 7 – 5 = 2 dan jangkauan nilai matematika = 10 – 2 = 8. Kesimpulannya, sebagaimana dinyatakan tadi, nilai Matematikanya lebih bervariasi daripada nilai IPA. Perhatikan sekarang tabel distribusi frekuensi berikut:
Tabel 6. 2. Banyaknya Siswa Kelas 1 SMP Adi berdasar Tingginya:
Tinggi (cm) Titik Tengah (xi) Turus Frekuensi (fi)
119 – 127
128 – 136
137 – 145
146 – 154
155 – 163
164 – 172
173 – 181 123
132
141
150
159
168
177 III
IIII I
IIII IIII
IIII IIII I
IIII
III
II 3
6
10
11
5
3
2
Untuk menentukan jangkauan pada suatu tabel, dapat digunakan 2 cara.
Cara 1:
Nilai tengah kelas terakhir ½ (173 + 181) = 177, dan nilai tengah kelas pertama ½ (119 + 127) = 123, sehingga J = 54.
Cara 2:
Batas atas kelas terakhir 181,5; dan batas bawah kelas pertama 118,5; sehingga jangkauan J =181,5 – 118,5 = 63
Simpangan Rata-rata
Simpangan rata-rata (SR) adalah salah satu ukuran penyebaran yang mengukur penyebaran nilai-nilai data terhadap nilai rata-ratanya. Untuk menghitung simpangan rata-rata dari data x1, x2, x3, …, xn digunakan rumus: , dengan n = banyaknya data dan = nilai rata-rata. Jika dari data x1, x2, x3, …, xn masing-masingnya muncul dengan frekuensi f1, f2, f3, …, fn akan didapat rumus: .
Varians atau Ragam dan Simpangan Baku (Standard Deviation)
Pada prakteknya, nilai simpangan rata-rata di atas jarang dipakai karena penggunaan nilai mutlak yang menyebabkan kekakuan dalam perhitungan matematika. Sebagai penggantinya dilakukan dengan mencari kuadrat dari simpangan setiap ukuran terhadap nilai rata-ratanya. Rata-rata dari semua nilai kuadrat dari simpangan itulah yang disebut varians atau ragam. Varians dari suatu data dinotasikan dengan s2. Untuk menghitung varians dari suatu data x1, x2, x3, …, xn digunakan rumus = = , dengan n = banyaknya data, dan = nilai rata-rata. Jika dari data x1, x2, x3, …, xn masing-masingnya muncul dengan frekuensi f1, f2, f3, …, fn akan didapat rumus: atau .
Jika cara di atas dilakukan terhadap suatu data hasil pengukuran yang memiliki satuan tertentu misal meter (m), maka akan diperoleh varians dengan satuan meter persegi (m2). Oleh karena itu untuk memperoleh suatu nilai yang memiliki satuan sama dengan satuan setiap ukuran pada data, maka kita perlu nilai akar kuadrat dari varians yang selanjutnya disebut dengan simpangan baku (standard deviation) yang dinotasikan dengan s dengan rumus
Latihan 6.1
Tentukan jangkauan (J), simpangan rata-rata (SR), varians (s2), dan simpangan baku (s) dari data berikut:
2, 4, 6, 9, 9.
102, 104, 106, 109, 109.
20, 40, 60, 90, 90.
Hal menarik apa saja yang dapat Anda nyatakan dari hasil itu? Apakah hal itu terjadi secara kebetulan saja ataukah dapat dibuktikan?
Suatu data dengan n = 8, rata-ratanya ( ) = 9, dan simpangan bakunya (s) = Ö15. Tentukan rata-rata dan simpangan bakunya jika:
Keseluruhan dari 8 nilai data tersebut ditambah 10.
Keseluruhan dari 8 nilai data tersebut dikurangi 10.
Keseluruhan dari 8 nilai data tersebut dikali 3.
Keseluruhan dari 8 nilai data tersebut dibagi 3.
Tentukan varians dari berat 100 siswa SMK Handayani berikut dengan berbagai cara:
Berat 60 – 62 63 – 65 66 – 68 69 – 71 72 – 74
Frekuensi 5 18 42 27 8
Buktikan: = =
Buktikan: = .
No comments:
Post a Comment